Fondamenti della meccanica atomica
L'equazione di Schrodinger (127), esplicitando l'operatore in coordinate polari, si scrive
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(1) Talvolta un operatore è definito solo per certe determinate classi di funzioni, mentre per altre non ha senso. P. es., l'operatore ha senso per
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Chiameremo operatore qualsiasi simbolo che premesso ad una funzione (di una o più variabili (1) Talvolta un operatore è definito solo per certe
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Un operatore generico viene indicato con una lettera: noi useremo di regola per questo scopo le lettere gotiche. Per esempio scriveremo F = per
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a) Ogni numero k si può riguardare come un operatore, perchè premesso ad una f(x, y, ...) la muta nel prodotto kf(x, y, ...). Ciò vale, naturalmente
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d) Il simbolo (con costante) è un operatore che muta ogni funzione integrabile f nella funzione
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(1) Purchè, beninteso, siano tali che abbia senso l'applicazione dell'operatore ad esse. Questa condizione si sottintenderà sempre nel seguito.
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In generale, per tale prodotto non vale la proprietà commutativa, cioè l'operatore non coincide con l' operatore : è questo che rende l'algebra degli
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Esempio.- La potenza n-esima dell'operatore è : cioè
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Inoltre si vede immediatamente che: se un operatore è permutabile con , lo è anche con qualunque F().
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Dalla (23) risulta subito che la matrice somma, così definita, è effettivamente la matrice corrispondente all'operatore .
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Come esempio notevole, si consideri l'operatore che intervenne al § 1, p. II, cioè A, B, C reali):
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Questo problema, nel caso in cui è l'operatore della (47) (con A' = B) consiste nella ricerca delle soluzioni a quadrato sommabile dell'equazione
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e applichiamo ai due membri l'operatore , dove è un o. l. funzione qualunque di : sarà, ricordando il teorema del § 10,
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In questo cambiamento di assi, la matrice A(k, j) che rappresenta un operatore rispetto agli assi , si cambia nella matrice che rappresenta lo stesso
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il primo membro si muta nell'operatore che è applicato a nel primo membro della (79).
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ovvero, indicando con l' operatore di LAPLACE relativo alla particella k-esima,
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Trasformiamo questa espressione in operatore, come si è fatto nel caso di una sola particella, sostituendo
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Esprimiamo questo operatore, invece che con le sei variabili , con le tre coordinate del baricentro
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Poichè la U non contiene , l'operatore si spezza nella somma di uno , contenente solo , l'altro, , che contiene solo x, y, z:
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(2) Questi autovalori risultano sempre reali, perchè l'operatore è hermitiano.
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Ammettiamo perciò il seguente postulato: ad ogni osservabile G si può far corrispondere un operatore lineare hermitiano che ha le seguenti proprietà
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Resta da vedere come si determina l'operatore corrispondente a una data osservabile G. Procediamo a tal uopo per via di generalizzazioni successive.
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b) Caso di G = px. Se l'osservabile G è una componente dell'impulso, p. es. , possiamo verificare che l'operatore corrispondente è
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concludere che a un'osservabile definita come F(q) corrisponde l'operatore F(q), e a una F(p) corrisponde cioè l'operatore ottenuto dalla data funzione
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La regola data al § precedente per trovare l'operatore corrispondente a una data osservabile G suppone che questa venga espressa mediante le
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In coordinate cartesiane invece è e l'operatore corrispondente è, come è ben noto,
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(1) Nel caso unidimensionale, p. es., posto (con e reali) si verifica subito che questa condizione è soddisfatta dall'operatore
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Il caso dell'operatore incompleto si può far rientrare nel precedente, considerando p infinito.
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Per una funzione (razionale e intera) delle sole p vale una relazione analoga, e cioè, chiamando l'operatore P
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Deriviamo dunque la (115), supponendo, per maggior generalità, che l'operatore dipenda esplicitamente da t: avremo
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e, indicando con l'operatore ottenuto dall' espressione di con l'operazione formale di derivazione rispetto a t (quindi se non contiene
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a cui corrisponde la relazione analoga tra gli operatori (indicando con l'operatore che corrisponde all'osservabile G):
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e quindi, secondo la regola del § 22, l'operatore ad essa corrispondente è
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operatore corrispondente a
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dove con si è indicato l'operatore, indipendente da r,
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Si rammenti ora che l'operatore di LAPLACE in coordinate polari è espresso da
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Si osservi che l'operatore , e quindi anche , è permutabile con ciascuno degli operatori . Difatti si ha, per le (125),
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e scrivendo l'equazione per o per nella solita forma (81) o (82). Si può anche dire che l'operatore corrispondente alla presenza di un campo
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(1) Precisamente, ciò avviene per tutte quelle osservabili il cui operatore ha un asse principale nella direzione del vettore di stato all'istante .
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Ciò premesso, l'equazione di Schrödinger per gli stati imperturbati si scriverà (indicando come prima con l'operatore hamiltoniano imperturbato):
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(Poichè in tale processo si comportano come se non dipendessero da x, y, z, si suol dire che un tale operatore «opera solo sulla variabile di spin
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Per ovvia estensione dei principi del § 22, l'operatore che corrisponde ad una qualsiasi grandezza relativa allo spin si ottiene scrivendo
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Sostituendo con gli operatori corrispondenti , questa espressione si trasforma nell'operatore
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dove, estendendo in modo ovvio la notazione del prodotto interno, si è indicato col simbolo H l'operatore (o matrice)
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Questo operatore dunque si può considerare come l'operatore hamiltoniano della teoria di Dirac. Si noti che dalla (273) si ricaverebbe, con lo stesso
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Applichiamo ora questo operatore alle della forma (338) o della forma (341), osservando che
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all'operatore:
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Sarà, quindi simmetrico anche l'operatore corrispondente a una generica osservabile F. In particolare, sarà simmetrica l'espressione dell'energia, e
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(1) Infatti, si consideri l'operatore che rappresenta il quadrato dello spin totale, e che è:
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Accademia della crusca
